02.1 线性反向传播

2.1 线性反向传播

2.1.1 正向计算的实例

假设有一个函数：

$$z = x \cdot y \tag{1}$$

其中:

$$x = 2w + 3b \tag{2}$$

$$y = 2b + 1 \tag{3}$$

计算图如图2-4。

图2-4 简单线性计算的计算图

注意这里 $x,y,z$ 不是变量，只是中间计算结果；$w,b$ 才是变量。因为在后面要学习的神经网络中，要最终求解的目标是 $w$ 和 $b$ 的值，所以在这里先预热一下。

当 $w = 3, b = 4$ 时，会得到图2-5的结果。

图2-5 计算结果

最终的 $z$ 值，受到了前面很多因素的影响：变量 $w$，变量 $b$，计算式 $x$，计算式 $y$。

2.1.2 反向传播求解 $w$

求 $w$ 的偏导

目前 $z=162$，如果想让 $z$ 变小一些，比如目标是 $z=150$，$w$ 应该如何变化呢？为了简化问题，先只考虑改变 $w$ 的值，而令 $b$ 值固定为 $4$。

如果想解决这个问题，最笨的办法是可以在输入端一点一点的试，把 $w$ 变成 $3.5$ 试试，再变成 $3$ 试试......直到满意为止。现在我们将要学习一个更好的解决办法：反向传播。

从 $z$ 开始一层一层向回看，图中各节点关于变量 $w$ 的偏导计算结果如下：

因为 $z = x \cdot y$，其中 $x = 2w + 3b, y = 2b + 1$

所以：

$$\frac{\partial{z}}{\partial{w}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{w}}=y \cdot 2=18 \tag{4}$$

其中：

$$\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{}}{\partial{x}}(x \cdot y)=y=9$$

$$\frac{\partial{x}}{\partial{w}}=\frac{\partial{}}{\partial{w}}(2w+3b)=2$$

图2-6 对 $w$ 的偏导求解过程

图2-6其实就是链式法则的具体表现，$z$ 的误差通过中间的 $x$ 传递到 $w$。如果不是用链式法则，而是直接用 $z$ 的表达式计算对 $w$ 的偏导数，会怎么样呢？我们来试验一下。

根据公式1、2、3，我们有：

$$z=x \cdot y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b^2+3b \tag{5}$$

对上式求 $w$ 的偏导：

$$\frac{\partial z}{\partial w}=4b+2=4 \cdot 4 + 2=18 \tag{6}$$

公式4和公式6的结果完全一致！所以，请大家相信链式法则的科学性。

求 $w$ 的具体变化值

公式4和公式6的含义是：当 $w$ 变化一点点时，$z$ 会产生 $w$ 的变化值18倍的变化。记住我们的目标是让 $z=150$，目前在初始状态时是 $z=162$，所以，问题转化为：当需要 $z$ 从 $162$ 变到 $150$ 时，$w$ 需要变化多少？

既然：

$$\Delta z = 18 \cdot \Delta w$$

则：

$$\Delta w = {\Delta z \over 18}=\frac{162-150}{18}= 0.6667$$

所以：

$$w = w - 0.6667=2.3333$$

$$x=2w+3b=16.6667$$

$$z=x \cdot y=16.6667 \times 9=150.0003$$

我们一下子就成功地让 $z$ 值变成了 $150.0003$，与 $150$ 的目标非常地接近，这就是偏导数的威力所在。

【课堂练习】推导 $z$ 对 $b$ 的偏导数，结果在下一小节中使用

2.1.3 反向传播求解 $b$

求 $b$ 的偏导

这次我们令 $w$ 的值固定为 $3$，变化 $b$ 的值，目标还是让 $z=150$。同上一小节一样，先求 $b$ 的偏导数。

注意，在上一小节中，求 $w$ 的导数只经过了一条路：从 $z$ 到 $x$ 到 $w$。但是求 $b$ 的导数时要经过两条路，如图2-7所示：

1. 从 $z$ 到 $x$ 到 $b$；
2. 从 $z$ 到 $y$ 到 $b$。

图2-7 对b的偏导求解过程

从复合导数公式来看，这两者应该是相加的关系，所以有：

$$\frac{\partial{z}}{\partial{b}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{b}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=y \cdot 3+x \cdot 2=63 \tag{7}$$

其中：

$$\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{}}{\partial{x}}(x \cdot y)=y=9$$

$$\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{\partial{}}{\partial{y}}(x \cdot y)=x=18$$

$$\frac{\partial{x}}{\partial{b}}=\frac{\partial{}}{\partial{b}}(2w+3b)=3$$

$$\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=\frac{\partial{}}{\partial{b}}(2b+1)=2$$

我们不妨再验证一下链式求导的正确性。把公式5再拿过来：

$$z=x \cdot y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b^2+3b \tag{5}$$

对上式求b的偏导：

$$\frac{\partial z}{\partial b}=4w+12b+3=12+48+3=63 \tag{8}$$

结果和公式7的链式法则一样。

求 $b$ 的具体变化值

公式7和公式8的含义是：当 $b$ 变化一点点时，$z$ 会发生 $b$ 的变化值 $63$ 倍的变化。记住我们的目标是让 $z=150$，目前在初始状态时是 $162$，所以，问题转化为：当我们需要 $z$ 从 $162$ 变到 $150$ 时，$b$ 需要变化多少？

既然：

$$\Delta z = 63 \cdot \Delta b$$

则：

$$\Delta b = \frac{\Delta z}{63}=\frac{162-150}{63}=0.1905$$

所以： $$ b=b-0.1905=3.8095 $$

$$x=2w+3b=17.4285$$

$$y=2b+1=8.619$$

$$z=x \cdot y=17.4285 \times 8.619=150.2162$$

这个结果也是与 $150$ 很接近了，但是精度还不够。再迭代几次，直到误差不大于 1e-4 时，我们就可以结束迭代了，对于计算机来说，这些运算的执行速度很快。

【课题练习】请自己尝试手动继续迭代两次，看看误差的精度可以达到多少？

这个问题用数学公式倒推求解一个二次方程，就能直接得到准确的b值吗？是的！但是我们是要说明机器学习的方法，机器并不会解二次方程，而且很多时候不是用二次方程就能解决实际问题的。而上例所示，是用机器所擅长的迭代计算的方法来不断逼近真实解，这就是机器学习的真谛！而且这种方法是普遍适用的。

2.1.4 同时求解 $w$ 和 $b$ 的变化值

这次我们要同时改变 $w$ 和 $b$，到达最终结果为 $z=150$ 的目的。

已知 $\Delta z=12$，我们不妨把这个误差的一半算在 $w$ 的账上，另外一半算在 $b$ 的账上：

$$\Delta b=\frac{\Delta z / 2}{63} = \frac{12/2}{63}=0.095$$

$$\Delta w=\frac{\Delta z / 2}{18} = \frac{12/2}{18}=0.333$$

• $w = w-\Delta w=3-0.333=2.667$
• $b = b - \Delta b=4-0.095=3.905$
• $x=2w+3b=2 \times 2.667+3 \times 3.905=17.049$
• $y=2b+1=2 \times 3.905+1=8.81$
• $z=x \times y=17.049 \times 8.81=150.2$

【课堂练习】用Python代码实现以上双变量的反向传播计算过程

容易出现的问题：

1. 在检查 $\Delta z$ 时的值时，注意要用绝对值，因为有可能是个负数
2. 在计算 $\Delta b$ 和 $\Delta w$ 时，第一次时，它们对 $z$ 的贡献值分别是 $1/63$ 和 $1/18$，但是第二次时，由于 $b,w$ 值的变化，对 $z$ 的贡献值也会有微小变化，所以要重新计算。具体解释如下：

$$\frac{\partial{z}}{\partial{b}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{b}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=y \cdot 3+x \cdot 2=3y+2x$$

$$\frac{\partial{z}}{\partial{w}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{w}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{w}}=y \cdot 2+x \cdot 0 = 2y $$ 所以，在每次迭代中，要重新计算下面两个值： $$ \Delta b=\frac{\Delta z}{3y+2x}$$

$$\Delta w=\frac{\Delta z}{2y}$$

以下是程序的运行结果。

没有在迭代中重新计算 $\Delta b$ 的贡献值：

single variable: b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
delta_b=0.190476
w=3.000000,b=3.809524,z=150.217687,delta_z=0.217687
delta_b=0.003455
w=3.000000,b=3.806068,z=150.007970,delta_z=0.007970
delta_b=0.000127
w=3.000000,b=3.805942,z=150.000294,delta_z=0.000294
delta_b=0.000005
w=3.000000,b=3.805937,z=150.000011,delta_z=0.000011
delta_b=0.000000
w=3.000000,b=3.805937,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.805937

在每次迭代中都重新计算 $\Delta b$ 的贡献值：

single variable new: b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
factor_b=63.000000, delta_b=0.190476
w=3.000000,b=3.809524,z=150.217687,delta_z=0.217687
factor_b=60.714286, delta_b=0.003585
w=3.000000,b=3.805938,z=150.000077,delta_z=0.000077
factor_b=60.671261, delta_b=0.000001
w=3.000000,b=3.805937,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.805937

从以上两个结果对比中，可以看到三点：

1. factor_b第一次是63，以后每次都会略微降低一些
2. 第二个函数迭代了3次就结束了，而第一个函数迭代了5次，效率不一样
3. 最后得到的结果是一样的，因为这个问题只有一个解

对于双变量的迭代，有同样的问题：

没有在迭代中重新计算 $\Delta b,\Delta w$ 的贡献值(factor_b和factor_w每次都保持63和18)：

double variable: w, b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
delta_b=0.095238, delta_w=0.333333
w=2.666667,b=3.904762,z=150.181406,delta_z=0.181406
delta_b=0.001440, delta_w=0.005039
w=2.661628,b=3.903322,z=150.005526,delta_z=0.005526
delta_b=0.000044, delta_w=0.000154
w=2.661474,b=3.903278,z=150.000170,delta_z=0.000170
delta_b=0.000001, delta_w=0.000005
w=2.661469,b=3.903277,z=150.000005,delta_z=0.000005
done!
final b=3.903277
final w=2.661469

在每次迭代中都重新计算 $\Delta b,\Delta w$ 的贡献值(factor_b和factor_w每次都变化)：

double variable new: w, b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
factor_b=63.000000, factor_w=18.000000, delta_b=0.095238, delta_w=0.333333
w=2.666667,b=3.904762,z=150.181406,delta_z=0.181406
factor_b=60.523810, factor_w=17.619048, delta_b=0.001499, delta_w=0.005148
w=2.661519,b=3.903263,z=150.000044,delta_z=0.000044
factor_b=60.485234, factor_w=17.613053, delta_b=0.000000, delta_w=0.000001
w=2.661517,b=3.903263,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.903263
final w=2.661517

这个与第一个单变量迭代不同的地方是：这个问题可以有多个解，所以两种方式都可以得到各自的正确解，但是第二种方式效率高，而且满足梯度下降的概念。

参考资料

http://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/

代码位置

ch02, Level1