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第9章 单入单出的双层神经网络 - 非线性回归⚓︎

9.0 非线性回归问题⚓︎

9.0.1 提出问题一⚓︎

我们在第5章学习了线性回归的解决方案，但是在工程实践中，我们最常遇到不是线性问题，而是非线性问题，例如图9-1所示的正弦曲线，表9-1给出了部分样本点示例。

图9-1 成正弦曲线分布的样本点

其样本数据如表9-1所示。

表9-1 成正弦曲线分布的样本值

样本 x y
1 0.1199 0.6108
2 0.0535 0.3832
3 0.6978 0.9496
... ... ...

问题：如何使用神经网络拟合一条有很强规律的曲线，比如正弦曲线？

9.0.2 提出问题二⚓︎

前面的正弦函数，看上去是非常有规律的，也许单层神经网络很容易就做到了。如果是更复杂的曲线，单层神经网络还能轻易做到吗？比如图9-2所示的样本点和表9-2的所示的样本值，如何使用神经网络方法来拟合这条曲线？

图9-2 复杂曲线样本可视化

表9-2 复杂曲线样本数据

样本 x y
1 0.606 -0.113
2 0.129 -0.269
3 0.582 0.027
... ... ...
1000 0.199 -0.281

原则上说，如果你有足够的耐心，愿意花很高的时间成本和计算资源，总可以用多项式回归的方式来解决这个问题，但是，在本章，我们将会学习另外一个定理：前馈神经网络的通用近似定理。

上面这条“蛇形”曲线，实际上是由下面这个公式添加噪音后生成的：

y=0.4x^2 + 0.3x\sin(15x) + 0.01\cos(50x)-0.3

我们特意把数据限制在[0,1]之间，避免做归一化的麻烦。要是觉得这个公式还不够复杂，大家可以用更复杂的公式去自己做试验。

以上问题可以叫做非线性回归，即自变量X和因变量Y之间不是线性关系。常用的传统的处理方法有线性迭代法、分段回归法、迭代最小二乘法等。在神经网络中，解决这类问题的思路非常简单，就是使用带有一个隐层的两层神经网络。

9.0.3 回归模型的评估标准⚓︎

回归问题主要是求值，评价标准主要是看求得值与实际结果的偏差有多大，所以，回归问题主要以下方法来评价模型。

平均绝对误差⚓︎

MAE（Mean Abolute Error）。

MAE=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \lvert a_i-y_i \rvert \tag{1}

对异常值不如均方差敏感，类似中位数。

绝对平均值率误差⚓︎

MAPE（Mean Absolute Percentage Error）。

MAPE=\frac{100}{m} \sum^m_{i=1} \left\lvert {a_i - y_i \over y_i} \right\rvert \tag{2}

和方差⚓︎

SSE（Sum Squared Error）。

SSE=\sum_{i=1}^m (a_i-y_i)^2 \tag{3}

得出的值与样本数量有关系，假设有1000个测试样本，得到的值是120；如果只有100个测试样本，得到的值可能是11，我们不能说11就比120要好。

均方误差⚓︎

MSE（Mean Squared Error）。

MSE = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (a_i-y_i)^2 \tag{4}

就是实际值减去预测值的平方再求期望，没错，就是线性回归的代价函数。由于MSE计算的是误差的平方，所以它对异常值是非常敏感的，因为一旦出现异常值，MSE指标会变得非常大。MSE越小，证明误差越小。

均方根误差⚓︎

RMSE（Root Mean Squard Error）。

RMSE = \sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (a_i-y_i)^2} \tag{5}

是均方差开根号的结果，其实质是一样的，只不过对结果有更好的解释。

例如：要做房价预测，每平方是万元，我们预测结果也是万元，那么MSE差值的平方单位应该是千万级别的。假设我们的模型预测结果与真实值相差1000元，则用MSE的计算结果是1000,000，这个值没有单位，如何描述这个差距？于是就求个平方根就好了，这样误差可以是标签值是同一个数量级的，在描述模型的时候就说，我们模型的误差是多少元。

R平方⚓︎

R-Squared。

上面的几种衡量标准针对不同的模型会有不同的值。比如说预测房价，那么误差单位就是元，比如3000元、11000元等。如果预测身高就可能是0.1、0.2米之类的。也就是说，对于不同的场景，会有不同量纲，因而也会有不同的数值，无法用一句话说得很清楚，必须啰啰嗦嗦带一大堆条件才能表达完整。

我们通常用概率来表达一个准确率，比如89%的准确率。那么线性回归有没有这样的衡量标准呢？答案就是R-Squared。

R^2=1-\frac{\sum (a_i - y_i)^2}{\sum(\bar y_i-y_i)^2}=1-\frac{MSE(a,y)}{Var(y)} \tag{6}

R平方是多元回归中的回归平方和（分子）占总平方和（分母）的比例，它是度量多元回归方程中拟合程度的一个统计量。R平方值越接近1，表明回归平方和占总平方和的比例越大，回归线与各观测点越接近，回归的拟合程度就越好。

  • 如果结果是0，说明模型跟瞎猜差不多；
  • 如果结果是1，说明模型无错误；
  • 如果结果是0-1之间的数，就是模型的好坏程度；
  • 如果结果是负数，说明模型还不如瞎猜。

代码实现：

def R2(a, y):
    assert (a.shape == y.shape)
    m = a.shape[0]
    var = np.var(y)
    mse = np.sum((a-y)**2)/m
    r2 = 1 - mse / var
    return r2