03.1 均方差损失函数

3.1 均方差函数⚓︎

MSE - Mean Square Error。

该函数就是最直观的一个损失函数了，计算预测值和真实值之间的欧式距离。预测值和真实值越接近，两者的均方差就越小。

均方差函数常用于线性回归(linear regression)，即函数拟合(function fitting)。公式如下：

$loss = {1 \over 2}(z-y)^2 \tag{单样本}$

$J=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (z_i-y_i)^2 \tag{多样本}$

3.1.1 工作原理⚓︎

要想得到预测值 $a$ 与真实值 $y$ 的差距，最朴素的想法就是用 $Error=a_i-y_i$ 。

对于单个样本来说，这样做没问题，但是多个样本累计时， $a_i-y_i$ 可能有正有负，误差求和时就会导致相互抵消，从而失去价值。所以有了绝对值差的想法，即 $Error=|a_i-y_i|$ 。这看上去很简单，并且也很理想，那为什么还要引入均方差损失函数呢？两种损失函数的比较如表3-1所示。

表3-1 绝对值损失函数与均方差损失函数的比较

样本标签值	样本预测值	绝对值损失函数	均方差损失函数
$[1,1,1]$	$[1,2,3]$	$(1-1)+(2-1)+(3-1)=3$	$(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2=5$
$[1,1,1]$	$[1,3,3]$	$(1-1)+(3-1)+(3-1)=4$	$(1-1)^2+(3-1)^2+(3-1)^2=8$
		$4/3=1.33$	$8/5=1.6$

可以看到5比3已经大了很多，8比4大了一倍，而8比5也放大了某个样本的局部损失对全局带来的影响，用术语说，就是“对某些偏离大的样本比较敏感”，从而引起监督训练过程的足够重视，以便回传误差。

3.1.2 实际案例⚓︎

假设有一组数据如图3-3，我们想找到一条拟合的直线。

图3-3 平面上的样本数据

图3-4中，前三张显示了一个逐渐找到最佳拟合直线的过程。

第一张，用均方差函数计算得到 $Loss=0.53$ ；
第二张，直线向上平移一些，误差计算 $Loss=0.16$ ，比图一的误差小很多；
第三张，又向上平移了一些，误差计算 $Loss=0.048$ ，此后还可以继续尝试平移（改变 $b$ 值）或者变换角度（改变 $w$ 值），得到更小的损失函数值；
第四张，偏离了最佳位置，误差值 $Loss=0.18$ ，这种情况，算法会让尝试方向反向向下。

图3-4 损失函数值与直线位置的关系

第三张图损失函数值最小的情况。比较第二张和第四张图，由于均方差的损失函数值都是正值，如何判断是向上移动还是向下移动呢？

在实际的训练过程中，是没有必要计算损失函数值的，因为损失函数值会体现在反向传播的过程中。我们来看看均方差函数的导数：

$\frac{\partial{J}}{\partial{a_i}} = a_i-y_i$

虽然 $(a_i-y_i)^2$ 永远是正数，但是 $a_i-y_i$ 却可以是正数（直线在点下方时）或者负数（直线在点上方时），这个正数或者负数被反向传播回到前面的计算过程中，就会引导训练过程朝正确的方向尝试。

在上面的例子中，我们有两个变量 $w,b$ ，这两个值的变化都会影响最终的损失函数值的。

我们假设该拟合直线的方程是 $y=2x+3$ ，当我们固定 $w=2$ ，把 $b$ 值从 $2$ 到 $4$ 变化时，损失函数值的变化如图3-5所示。

图3-5 固定 $w$ 时， $b$ 变化时损失函数值的变化

我们假设该拟合直线的方程是 $y=2x+3$ ，当我们固定 $b=3$ ，把 $w$ 值从 $1$ 到 $3$ 变化时，损失函数值的变化如图3-6所示。

图3-6 固定 $b$ 时， $w$ 变化时损失函数值的变化

3.1.3 损失函数的可视化⚓︎

损失函数值的3D示意图⚓︎

横坐标为 $w$ ，纵坐标为 $b$ ，针对每一个 $(w,b)$ 的组合计算出一个损失函数值，用三维图的高度来表示这个损失函数值。下图中的底部并非一个平面，而是一个有些下凹的曲面，只不过曲率较小，如图3-7。

图3-7 $w$ 和 $b$ 同时变化时的损失值形成的曲面

损失函数值的2D示意图⚓︎

在平面地图中，我们经常会看到用等高线的方式来表示海拔高度值，下图就是上图在平面上的投影，即损失函数值的等高线图，如图3-8所示。

图3-8 损失函数的等高线图

如果还不能理解的话，我们用最笨的方法来画一张图，代码如下：

    s = 200
    W = np.linspace(w-2,w+2,s)
    B = np.linspace(b-2,b+2,s)
    LOSS = np.zeros((s,s))
    for i in range(len(W)):
        for j in range(len(B)):
            z = W[i] * x + B[j]
            loss = CostFunction(x,y,z,m)
            LOSS[i,j] = round(loss, 2)

上述代码针对每个 $(w,b)$ 组合计算出了一个损失值，保留小数点后2位，放在LOSS矩阵中，如下所示：

[[4.69 4.63 4.57 ... 0.72 0.74 0.76]
 [4.66 4.6  4.54 ... 0.73 0.75 0.77]
 [4.62 4.56 4.5  ... 0.73 0.75 0.77]
 ...
 [0.7  0.68 0.66 ... 4.57 4.63 4.69]
 [0.69 0.67 0.65 ... 4.6  4.66 4.72]
 [0.68 0.66 0.64 ... 4.63 4.69 4.75]]

然后遍历矩阵中的损失函数值，在具有相同值的位置上绘制相同颜色的点，比如，把所有值为0.72的点绘制成红色，把所有值为0.75的点绘制成蓝色......，这样就可以得到图3-9。

图3-9 用笨办法绘制等高线图

此图和等高线图的表达方式等价，但由于等高线图比较简明清晰，所以以后我们都使用等高线图来说明问题。

代码位置⚓︎

ch03, Level1