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07.1 多分类函数

7.1 多分类函数⚓︎

此函数对线性多分类和非线性多分类都适用。

先回忆一下二分类问题,在线性计算后,使用了Logistic函数计算样本的概率值,从而把样本分成了正负两类。那么对于多分类问题,应该使用什么方法来计算样本属于各个类别的概率值呢?又是如何作用到反向传播过程中的呢?我们这一节主要研究这个问题。

7.1.1 多分类函数定义 - Softmax⚓︎

如何得到多分类问题的分类结果概率值?⚓︎

Logistic函数可以得到诸如0.8、0.3这样的二分类概率值,前者接近1,后者接近0。那么多分类问题如何得到类似的概率值呢?

我们依然假设对于一个样本的分类值是用这个线性公式得到的:

z = x \cdot w + b

但是,我们要求 z 不是一个标量,而是一个向量。如果是三分类问题,我们就要求 z 是一个三维的向量,向量中的每个单元的元素值代表该样本分别属于三个分类的值,这样不就可以了吗?

具体的说,假设x是一个 (1x2) 的向量,把w设计成一个(2x3)的向量,b设计成(1x3)的向量,则z就是一个(1x3)的向量。我们假设z的计算结果是[3,1,-3],这三个值分别代表了样本x在三个分类中的数值,下面我们把它转换成概率值。

有的读者可能会有疑问:我们不能训练神经网络让它的z值直接变成概率形式吗?答案是否定的,因为z值是经过线性计算得到的,线性计算能力有限,无法有效地直接变成概率值。

取max值⚓︎

z值是 [3,1,-3],如果取max操作会变成 [1,0,0],这符合我们的分类需要,即三者相加为1,并且认为该样本属于第一类。但是有两个不足:

  1. 分类结果是 [1,0,0],只保留的非0即1的信息,没有各元素之间相差多少的信息,可以理解是“Hard Max”;
  2. max操作本身不可导,无法用在反向传播中。

引入Softmax⚓︎

Softmax加了个"soft"来模拟max的行为,但同时又保留了相对大小的信息。

a_j = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}}

上式中:

  • z_j 是对第 j 项的分类原始值,即矩阵运算的结果
  • z_i 是参与分类计算的每个类别的原始值
  • m 是总分类数
  • a_j 是对第 j 项的计算结果

假设 j=1,m=3,上式为:

a_1=\frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}}

用图7-5来形象地说明这个过程。

图7-5 Softmax工作过程

当输入的数据[z_1,z_2,z_3][3,1,-3]时,按照图示过程进行计算,可以得出输出的概率分布是[0.879,0.119,0.002]

对比MAX运算和Softmax的不同,如表7-2所示。

表7-2 MAX运算和Softmax的不同

输入原始值 MAX计算 Softmax计算
[3, 1, -3] [1, 0, 0] [0.879, 0.119, 0.002]

也就是说,在(至少)有三个类别时,通过使用Softmax公式计算它们的输出,比较相对大小后,得出该样本属于第一类,因为第一类的值为0.879,在三者中最大。注意这是对一个样本的计算得出的数值,而不是三个样本,亦即Softmax给出了某个样本分别属于三个类别的概率。

它有两个特点:

  1. 三个类别的概率相加为1
  2. 每个类别的概率都大于0

Softmax的反向传播工作原理⚓︎

我们仍假设网络输出的预测数据是 z=[3,1,-3],而标签值是 y=[1,0,0]。在做反向传播时,根据前面的经验,我们会用 z-y,得到:

z-y=[2,1,-3]

这个信息很奇怪:

  • 第一项是2,我们已经预测准确了此样本属于第一类,但是反向误差的值是2,即惩罚值是2
  • 第二项是1,惩罚值是1,预测对了,仍有惩罚值
  • 第三项是-3,惩罚值是-3,意为着奖励值是3,明明预测错误了却给了奖励

所以,如果不使用Softmax这种机制,会存在有个问题:

  • z值和y值之间,即预测值和标签值之间不可比,比如 z_0=3y_0=1 是不可比的
  • z值中的三个元素之间虽然可比,但只能比大小,不能比差值,比如 z_0>z_1>z_2,但3和1相差2,1和-3相差4,这些差值是无意义的

在使用Softmax之后,我们得到的值是 a=[0.879,0.119,0.002],用 a-y

a-y=[-0.121, 0.119, 0.002]

再来分析这个信息:

  • 第一项-0.121是奖励给该类别0.121,因为它做对了,但是可以让这个概率值更大,最好是1
  • 第二项0.119是惩罚,因为它试图给第二类0.119的概率,所以需要这个概率值更小,最好是0
  • 第三项0.002是惩罚,因为它试图给第三类0.002的概率,所以需要这个概率值更小,最好是0

这个信息是完全正确的,可以用于反向传播。Softmax先做了归一化,把输出值归一到[0,1]之间,这样就可以与标签值的0或1去比较,并且知道惩罚或奖励的幅度。

从继承关系的角度来说,Softmax函数可以视作Logistic函数扩展,比如一个二分类问题:

a_1 = \frac{e^{z_1}}{e^{z_1} + e^{z_2}} = \frac{1}{1 + e^{z_2 - z_1}}

是不是和Logistic函数形式非常像?其实Logistic函数也是给出了当前样本的一个概率值,只不过是依靠偏近0或偏近1来判断属于正类还是负类。

7.1.2 正向传播⚓︎

矩阵运算⚓︎

z=x \cdot w + b \tag{1}

分类计算⚓︎

a_j = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}} \tag{2}

损失函数计算⚓︎

计算单样本时,m是分类数: $$ loss(w,b)=-\sum_{i=1}^m y_i \ln a_i \tag{3} $$

计算多样本时,m是分类数,n是样本数: J(w,b) =- \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ji} \log a_{ji} \tag{4}

如图7-6示意。

图7-6 Softmax在神经网络结构中的示意图

7.1.3 反向传播⚓︎

实例化推导⚓︎

我们先用实例化的方式来做反向传播公式的推导,然后再扩展到一般性上。假设有三个类别,则:

z_1 = x \cdot w+ b_1 \tag{5} $$ $$ z_2 = x \cdot w + b_2 \tag{6} $$ $$ z_3 = x \cdot w + b_3 \tag{7} $$ $$ a_1=\frac{e^{z_1}}{\sum_i e^{z_i}}=\frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}} \tag{8} $$ $$ a_2=\frac{e^{z_2}}{\sum_i e^{z_i}}=\frac{e^{z_2}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}} \tag{9} $$ $$ a_3=\frac{e^{z_3}}{\sum_i e^{z_i}}=\frac{e^{z_3}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}} \tag{10}

为了方便书写,我们令:

E ={e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}}
loss(w,b)=-(y_1 \ln a_1 + y_2 \ln a_2 + y_3 \ln a_3) \tag{11}
\frac{\partial{loss}}{\partial{z_1}}= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_1}}\frac{\partial{a_1}}{\partial{z_1}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_2}}\frac{\partial{a_2}}{\partial{z_1}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_3}}\frac{\partial{a_3}}{\partial{z_1}} \tag{12}

依次求解公式12中的各项:

\frac{\partial loss}{\partial a_1}=- \frac{y_1}{a_1} \tag{13}
\frac{\partial loss}{\partial a_2}=- \frac{y_2}{a_2} \tag{14}
\frac{\partial loss}{\partial a_3}=- \frac{y_3}{a_3} \tag{15}
\frac{\partial a_1}{\partial z_1}=(\frac{\partial e^{z_1}}{\partial z_1} E -\frac{\partial E}{\partial z_1}e^{z_1})/E^2 =\frac{e^{z_1}E - e^{z_1}e^{z_1}}{E^2}=a_1(1-a_1) \tag{16}
\begin{aligned} \frac{\partial a_2}{\partial z_1}&=(\frac{\partial e^{z_2}}{\partial z_1} E -\frac{\partial E}{\partial z_1}e^{z_2})/E^2 =\frac{0 - e^{z_1}e^{z_2}}{E^2}=-a_1 a_2 \end{aligned} \tag{17}
\begin{aligned} \frac{\partial a_3}{\partial z_1}&=(\frac{\partial e^{z_3}}{\partial z_1} E -\frac{\partial E}{\partial z_1}e^{z_3})/E^2 =\frac{0 - e^{z_1}e^{z_3}}{E^2}=-a_1 a_3 \end{aligned} \tag{18}

把公式13~18组合到12中:

\begin{aligned} \frac{\partial loss}{\partial z_1}&=-\frac{y_1}{a_1}a_1(1-a_1)+\frac{y_2}{a_2}a_1a_2+\frac{y_3}{a_3}a_1a_3 \\\\ &=-y_1+y_1a_1+y_2a_1+y_3a_1 \\\\ &=-y_1+a_1(y_1+y_2+y_3) \\\\ &=a_1-y_1 \end{aligned} \tag{19}

不失一般性,由公式19可得: $$ \frac{\partial loss}{\partial z_i}=a_i-y_i \tag{20} $$

一般性推导⚓︎

  1. Softmax函数自身的求导

由于Softmax涉及到求和,所以有两种情况:

  • 求输出项 a_1 对输入项 z_1 的导数,此时:j=1, i=1, i=j,可以扩展到 i,j 为任意相等值
  • 求输出项 a_2a_3 对输入项 z_1 的导数,此时:j23, i=1,i \neq j,可以扩展到 i,j 为任意不等值

Softmax函数的分子:因为是计算 a_j,所以分子是 e^{z_j}

Softmax函数的分母: $$ \sum\limits_{i=1}^m e^{z_i} = e^{z_1} + \dots + e^{z_j} + \dots +e^{z_m} \Rightarrow E $$

  • i=j时(比如输出分类值 a_1z_1 的求导),求 a_jz_i 的导数,此时分子上的 e^{z_j} 要参与求导。参考基本数学导数公式33:
\begin{aligned} \frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{}}{\partial{z_i}}(e^{z_j}/E) \\\\ &= \frac{\partial{}}{\partial{z_j}}(e^{z_j}/E) \quad (因为z_i==z_i)\\\\ &=\frac{e^{z_j}E-e^{z_j}e^{z_j}}{E^2} =\frac{e^{z_j}}{E} - \frac{(e^{z_j})^2}{E^2} \\\\ &= a_j-a^2_j=a_j(1-a_j) \\\\ \end{aligned} \tag{21}
  • i \neq j时(比如输出分类值 a_1z_2 的求导,j=1,i=2),a_jz_i的导数,分子上的 z_ji 没有关系,求导为0,分母的求和项中e^{z_i}要参与求导。同样是公式33,因为分子e^{z_j}e^{z_i}求导的结果是0:
\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}=\frac{-(E)'e^{z_j}}{E^2} $$ 求和公式对$e^{z_i}$的导数$(E)'$,除了$e^{z_i}$项外,其它都是0: $$ (E)' = (e^{z_1} + \dots + e^{z_i} + \dots +e^{z_m})'=e^{z_i} $$ 所以: $$ \begin{aligned} \frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}&=\frac{-(E)'e^{z_j}}{(E)^2}=-\frac{e^{z_j}e^{z_i}}{{(E)^2}} =-\frac{e^{z_i}}{{E}}\frac{e^{z_j}}{{E}}=-a_{i}a_{j} \end{aligned} \tag{22}
  1. 结合损失函数的整体反向传播公式

看上图,我们要求Loss值对Z1的偏导数。和以前的Logistic函数不同,那个函数是一个 z 对应一个 a,所以反向关系也是一对一。而在这里,a_1 的计算是有 z_1,z_2,z_3 参与的,a_2 的计算也是有 z_1,z_2,z_3 参与的,即所有 a 的计算都与前一层的 z 有关,所以考虑反向时也会比较复杂。

先从Loss的公式看,loss=-(y_1lna_1+y_2lna_2+y_3lna_3)a_1 肯定与 z_1 有关,那么 a_2,a_3 是否与 z_1 有关呢?

再从Softmax函数的形式来看:

无论是 a_1,a_2,a_3,都是与 z_1 相关的,而不是一对一的关系,所以,想求Loss对Z1的偏导,必须把Loss->A1->Z1, Loss->A2->Z1,Loss->A3->Z1,这三条路的结果加起来。于是有了如下公式:

\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_1}}\frac{\partial{a_1}}{\partial{z_i}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_2}}\frac{\partial{a_2}}{\partial{z_i}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_3}}\frac{\partial{a_3}}{\partial{z_i}} \\\\ &=\sum_j \frac{\partial{loss}}{\partial{a_j}}\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}} \end{aligned}

当上式中i=1,j=3,就完全符合我们的假设了,而且不失普遍性。

前面说过了,因为Softmax涉及到各项求和,A的分类结果和Y的标签值分类是否一致,所以需要分情况讨论:

\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}} = \begin{cases} a_j(1-a_j), & i = j \\\\ -a_ia_j, & i \neq j \end{cases}

因此,\frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}}应该是 i=ji \neq j两种情况的和:

  • i = j 时,loss通过 a_1z_1 求导(或者是通过 a_2z_2 求导):
\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_j}}\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}=-\frac{y_j}{a_j}a_j(1-a_j) \\\\ &=y_j(a_j-1)=y_i(a_i-1) \end{aligned} \tag{23}
  • i \neq j,loss通过 a_2+a_3z_1 求导:
\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_j}}\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}=\sum_j^m(-\frac{y_j}{a_j})(-a_ja_i) \\\\ &=\sum_j^m(y_ja_i)=a_i\sum_{j \neq i}{y_j} \end{aligned} \tag{24}

把两种情况加起来:

\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= y_i(a_i-1)+a_i\sum_{j \neq i}y_j \\\\ &=-y_i+a_iy_i+a_i\sum_{j \neq i}y_j \\\\ &=-y_i+a_i(y_i+\sum_{j \neq i}y_j) \\\\ &=-y_i + a_i*1 \\\\ &=a_i-y_i \end{aligned} \tag{25}

因为y_j取值[1,0,0]或者[0,1,0]或者[0,0,1],这三者加起来,就是[1,1,1],在矩阵乘法运算里乘以[1,1,1]相当于什么都不做,就等于原值。

我们惊奇地发现,最后的反向计算过程就是:a_i-y_i,假设当前样本的a_i=[0.879, 0.119, 0.002],而y_i=[0, 1, 0],则: a_i - y_i = [0.879, 0.119, 0.002]-[0,1,0]=[0.879,-0.881,0.002]

其含义是,样本预测第一类,但实际是第二类,所以给第一类0.879的惩罚值,给第二类0.881的奖励,给第三类0.002的惩罚,并反向传播给神经网络。

后面对 z=wx+b 的求导,与二分类一样,不再赘述。

7.1.4 代码实现⚓︎

第一种,直截了当按照公式写:

def Softmax1(x):
    e_x = np.exp(x)
    v = np.exp(x) / np.sum(e_x)
    return v
这个可能会发生的问题是,当x很大时,np.exp(x)很容易溢出,因为是指数运算。所以,有了下面这种改进的代码:

def Softmax2(Z):
    shift_Z = Z - np.max(Z)
    exp_Z = np.exp(shift_Z)
    A = exp_Z / np.sum(exp_Z)
    return A
测试一下:
Z = np.array([3,0,-3])
print(Softmax1(Z))
print(Softmax2(Z))
两个实现方式的结果一致:
[0.95033021 0.04731416 0.00235563]
[0.95033021 0.04731416 0.00235563]

为什么一样呢?从代码上看差好多啊!我们来证明一下:

假设有3个值a,b,c,并且a在三个数中最大,则b所占的Softmax比重应该这样写:

P(b)=\frac{e^b}{e^a+e^b+e^c}

如果减去最大值变成了a-a,b-a,c-a,则b'所占的Softmax比重应该这样写:

\begin{aligned} P(b') &= \frac{e^{b-a}}{e^{a-a}+e^{b-a}+e^{c-a}} \\ &=\frac{e^b/e^a}{e^a/e^a+e^b/e^a+e^c/e^a} \\ &= \frac{e^b}{e^a+e^b+e^c} \end{aligned} $$ 所以: $$ P(b) == P(b')

Softmax2的写法对一个一维的向量或者数组是没问题的,如果遇到Z是个M \times N维(M,N>1)的矩阵的话,就有问题了,因为np.sum(exp_Z)这个函数,会把M\times N矩阵里的所有元素加在一起,得到一个标量值,而不是相关列元素加在一起。

所以应该这么写:

class Softmax(object):
    def forward(self, z):
        shift_z = z - np.max(z, axis=1, keepdims=True)
        exp_z = np.exp(shift_z)
        a = exp_z / np.sum(exp_z, axis=1, keepdims=True)
        return a

axis=1这个参数非常重要,因为如果输入Z是单样本的预测值话,如果是分三类,则应该是个 3\times 1 的数组,如果:

  • z = [3,1,-3]
  • a = [0.879,0.119,0.002]

但是,如果是批量训练,假设每次用两个样本,则:

if __name__ == '__main__':
    z = np.array([[3,1,-3],[1,-3,3]]).reshape(2,3)
    a = Softmax().forward(z)
    print(a)
结果:
[[0.87887824 0.11894324 0.00217852]
 [0.11894324 0.00217852 0.87887824]]
其中,a是包含两个样本的softmax结果,每个数组里面的三个数字相加为1。

如果s = np.sum(exp_z),不指定axis=1参数,则:

[[0.43943912 0.05947162 0.00108926]
 [0.05947162 0.00108926 0.43943912]]
A虽然仍然包含两个样本,但是变成了两个样本所有的6个元素相加为1,这不是softmax的本意,softmax只计算一个样本(一行)中的数据。

思考与练习⚓︎

  1. 有没有可能一个样本的三分类值中,有两个或多个分类值相同呢,比如[0.3,0.3,0.4]?
  2. 遇到这种问题是你打算如何解决?